第三篇动态电路的相量分析法和$S$域分析法

第八章阻抗和导纳

复数

$\begin{aligned} &A=a\cos\theta+ja\sin\theta=ae^{j\theta}=a\angle\theta\\ &运算法则:\\ &R_e\ A = R e ( a _ { 1 } + j a _ { 2 } ) = a _ { 1 }\\ &Im\ A = I m ( a _ { 1 } + j a _ { 2 } ) = a _ { 2 } \end{aligned}$

振幅向量

$\begin{aligned} 有正弦向量u ( t ) &= U _ { m } \cos ( \omega t + \psi )\\ &=Re\left[U_me^{j(\omega t+\psi)}\right]\\ &=Re\left(U_me^{j\psi}e^{j\omega t}\right)\\ &=Re(\stackrel{\cdotp}U_{m}\angle \omega t)\\ (其中:\ \stackrel{\cdot}{U}=U_me^{j\omega}=&U_m\angle\psi\ 叫做电压振幅相量) \end{aligned}$

向量线性性质

表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组舍的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即，如设正弦量为

$f_{1}(t)=Re(\dot{A}_{1}e^{j \omega t}),f_{2}(t)=Re(\dot{A}_{2}e^{i \omega t})$

举例:

设$a_1$和,$a_2$为两个实数，则正弦量了$a_1f_1(t)$和$a_2f_2(t)$可用相量$\alpha_1\stackrel{\cdot}{A_1}$+$\alpha_2\stackrel{\cdot}{A_2}$表示

基尔霍夫定理

$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{k}i_{k}= \sum _{k=1}^{k}Re(\dot I_{km}e^{j \omega t})=0\\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^k\dot I_{km}=0;\\ &同理\sum_{k=1}^k\dot U_{km}=0; \end{aligned}$

列题P_14 8-5

三种基本电路元件VCR 的相量形式

阻抗Z:

电抗:$Z=jX;X=Im[Z]$
$z=|z|\angle\phi$
$Z=\frac {\dot U}{\dot I}=\frac {U\angle\phi_u}{I\angle\phi_i}=R(\angle\phi_u-\angle\phi_i)$

元件	时域	相量
—-	$u=u_mcos(\omega t+\phi)$	$\dot U_m=U_m\angle{\phi_u}$
—-	$i=\sqrt2 i(\omega t+\phi)$	$\dot I_m=\sqrt2I\angle{\phi_i}$
电阻R	$u=R\cdot i$	$Z_R=R=\frac {\dot U}{\dot I}$	$\angle\phi{uR}=\angle\phi{IR}$
电容C	$i_c=C\frac {du_c(t)}{dt}$	$Z_C=\frac 1{j\omega c}=\frac {\dot U_c}{\dot I_c}$	$\angle\phi{uc}-\angle\phi{Ic}=-90^{\circ}$
电感L	$U_L=L\cdot\frac {dl_l{t}}{dt}$	$Z_L=j\omega L=\frac {\dot U_L}{\dot I_L}$	$\angle\phi{uL}-\angle\phi{IL}=90^{\circ}$

P_27

第九章正弦稳态功率和能量

名字	计算公式	单位
平均功率	$P=UIcos\phi(注：\phi为电压电流的相位差，UI都为模)$	瓦特w
无功功率	$Q=UI\sin \phi$	乏var
视在功率	$S=UI=\sqrt {P^2+Q^2}$	$伏安V\cdot A$
复功率	$\stackrel {\sim}{S}=\dot U\dot {I^*}=P+jQ=j2\omega(W_L-W_C)$	证明P_87
功率因数	$\lambda=\frac P S=cos\phi$	$\phi>0$电容性

复功率

复功率的实部P应为网络中各电阻元件消耗功率的总和，虚部Q应为网络中各动态元件无功功率的代数和，且$W_L$应为网络中所有电感储能平均值的总和，$W_C$应为网络中所有电容储能平均值的总和。这一关系称为复功率守恒。

最大功率

负载载电阻获得最大功率的条件取决于电路内何者为定值、何者为变量。

当负载的电阻及电抗均可独立地变化；
- 负载获得最大功率的条件是：$X_L=-X_S以及R_L=R_S。$也就是负载阻抗为电源内阻抗的共轭复数。

载阻抗角固定而模可改变。

负载获得最大功率的条件是：负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模匹配。当负载是纯电阻时，即$|Z|=R_L$ 时，最大功率的条件是$R_L=\sqrt {R^2_s+X^2_s}$而不是$R_L=R_S$,这是应当注意的。显然，在这一情祝下所得

零状态响应条件下S域元件模型)

★时域电路变换为S域电路模型后，电路中的电阻R、电容C、电感L均等效为电阻来计算，电阻值分别为R、$\frac 1{sC}$、sL，电压源、电流源直接写作变换式。

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复数