题型解法

求线性方程组的解

齐次方程组的通解

形式$Ax=0;$

$\left\{\begin{aligned} &有唯一解(零解):&r(A)=n;\\ &有非零解:&r(A)<n;\\ \end{aligned}\right.$

基础解系$\xi_1,\xi_2,\cdot\cdot ,\xi_s\ 的s=n-r(A)$ ;

方法:

$\begin{aligned} &①\ A\stackrel{初等行变换}{\longrightarrow}梯形矩阵B(或最简阶梯形矩阵B)\ ; \\ &②\ 按列找出一个秩为r的子矩阵，则剩余列位置的未知数即设为自由变量(个数S=n-r)\ ;\\ &③\ 按基础解系定义求出\xi_1,\xi_2,\cdot\cdot\cdot,\xi_s并写出通解; \end{aligned}$

非齐次方程组的通解

形式$Ax=b$ ;

$\begin{cases} r(A)\neq r(A,b),方程无解\\ r(A)=r(A,b)\begin{cases} \ =n:有唯一解\\ \ <n:无穷解 \end{cases} \end{cases}$

求解步骤

$\begin{aligned}&①求Ax=0的通解,k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdot\cdot\cdot+k_{n-r}\xi_{n-r}\\ &②求Ax=b\ 的一个特解\eta\\ &③则通解为k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdot\cdot\cdot+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta\end{aligned}$

归纳总结

若矩阵A的行列式$|A|\neq 0$ 向量线性无关$\Rightarrow$若$|A|=0$,则r(A)<n;
$r(A^*)=\begin{cases} n:则r(A)=n\\ 1:则r(A)=n-1\\ 0:则r(A)<n-1\\\end{cases}$

几种重要矩阵

矩阵	表现
1. 数量矩阵	数k和单位矩阵的乘积称为数量矩阵:$kE$
2. 对角矩阵	非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵
3. 对称矩阵	满足条件$A^T=A$的矩阵A称为对称矩阵，$A^T=A\Leftrightarrow a{ji}=a{ij}$
4. 正交矩阵	设A是n阶方阵，满足$A^TA=E$,则称A是正交矩阵
5.分块矩阵	…..

若A矩阵不可逆,$|A|= 0$

正交矩阵

A是正交矩阵$A^TA=E\Leftrightarrow A^T=A^{-1}\Leftrightarrow A$的行（列）向量组是标准正交向量组.

既A是由两两正交的单位向量组（称为规范正交基）组成.

$A^T,A^{−1},A^∗$均为正交矩阵；

A的特征值只能为$\pm1$

特征值与特征向量

秩

$r(A+B)\leq r([A,B])\leq r(A)+r(B)$
$r(AB)\leq min(r(A),r(B))$

特征值的性质

$\begin{cases} ①\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}= \sum _{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A);\\ ②\prod _ { i = 1 } ^ { n } \lambda_ { i } = | A | \end{cases}$

特征向量的性质

(1)k重特征值$\lambda$至多只有k个线性无关的特征向量（直接使用，不用证明）;
(2)若$\xi_1,\xi_2$是A的属于不同特征值$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量，则$\xi_1,\xi_2$线性无关;
(3)若$\xi_1,\xi_2$是A的属于同一特征值入的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$($k_1,k_2$不同时为零的任意常数)仍是A的属于特征值$\lambda$的特征向量;

相似矩阵的性质$A\sim B$

$r(A)=r(B)$;
$|A|=|B|$;
$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$;
$\lambda{Ai}=\lambda{Bi}$

相似对角化总结
1. 由定义,若$B=P^{-1}AP$(P可逆),则$B\sim A$
2. 在众多P中若存在一个P($P=Q$)使得$P^{-1}AP= \Lambda$则可相似对角化
  
  何时存在这样的一个P(可相似对角化的条件)

相似对角化-方法

设n阶矩阵A,若存在n阶可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=\Lambda$,其中$\Lambda$是对角矩阵，则称A可相似对角化，记$A\sim \Lambda$,称$\Lambda$是A的相似标准形。(其中:可逆矩阵P的列向量应为A的线性无关的特征向量)

若A为实对称矩阵，则其用正交短阵Q相似对角化的基本步骤如下:

(1) 求A得特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdot\cdot\cdot,\lambda_n:|\lambda E-A|$

(2)求对应得特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdot\cdot,\xi_n$

(3)正交化$\xi_1,\xi_2,\cdot\cdot,\xi_n$,再单位化得到$\eta_1,\eta_2,\cdot\cdot\cdot,\eta_n$(正交规范化)

(4)令$Q={\eta_1,\eta_2,\cdot\cdot\cdot,\eta_n}$则Q为正交矩阵,且$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$

相似对角化-判别

第一步，看是不是实对称矩阵，如果是实对称矩阵，立即推可相似对角化，如果不是实对称矩阵，看第二步；

第二步，求方阵的n个特征值，如果特征值彼此都不相同，也就是都是单根的话，立即推可相似对角化，如果有重根，看第三步；

第三步，来验证k重根是不是具备k个线性无关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，立即推可相似对角化，不相等，则不能进行相似对角化

$\begin{flalign} ①找垂&直向量:\\ &\beta_1=a_1\\ &\beta_2=a_2-\frac {(a_1,\beta_1)}{(a_2,\beta_2)}\\ ②单位&化\beta_1,\beta_2:\\ &\eta_1=\frac {\beta_1}{||\beta_1||};\eta_2=\frac {\beta_2}{||\beta_2||};\\ 得到标&准正交向量\eta_1,\eta_2; \end{flalign}$

二次型

$\begin{aligned} f(x)=x^TAx;\stackrel {可逆线性变换x=cy}\Rightarrow y^T(C^TAC)y\\ 则B=C^TAC和A合同 \end{aligned}$

正惯性指数: 将二次型可逆线性变换化成规范型或标准型,正项个数为p,负项个数q 。则p为正惯性指数.
其中正项个数和特征值正数个数对应
可逆变换矩阵合同
- 矩阵合同正负惯性个数相同(特征值正负数个数相同)
正交变换矩阵相似($A\stackrel{正交变换}\Rightarrow Q^{-1}AQ$)
- 任何二次型都可以通过正交变换化成标准型
- 任何二次型都可以通过配方法(可逆线性变换)化成标准型和规范型
  - X可以通过可逆变换P成各种Y,Q,W….但是所有的都可以通过标准型作为桥梁