公式

基本求导公式

$\begin{align} (tan\ x)'&=sec^2x;&(cot\ x)' &=-csc^2x\\ (sec\ x)'&=sec\ xtan\ x ; &(csc\ x)'&=-csc\ xcot\ x\\ (arcsin\ x)'&=\frac 1{\sqrt {1-x^2}};&(arccos\ x)'&={\color{red}-}\frac 1{\sqrt {1-x^2}}\\ (arctan\ x)'&=\frac 1{1+x^2}; &(arccot\ x)'&={\color{red}-}\frac 1{1+x^2}\\ \end{align}$

积分公式

$\begin{aligned} \int sec\theta d\theta=ln|sec\theta+tan\theta| \end{aligned}$

泰勒公式

$\begin{align} f(x) &=\sum_{n=0}(n!)^{-1}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\\ sinx &=x-\frac {x^3}{3!}+o(x^2) \\ cosx &=1-\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}+o(x^4) \\ tanx &=x+\frac {x^3}{3}+o(x^3)\\ arcsinx &=x+\frac {x^3}{3!}+o(x^3)\\ arctanx &=x-\frac {x^3}{3}+0(x^3)\\ e^x &=1+x+\frac {x}{2!}+\frac {x}{3!}+o(x^3)\\ ln(1+x) &=x-\frac {x^2}{2}+\frac {x^3}{3}+o(x^3)\\ (1+x)^a &=1+ax+\frac {a(a-1)}{2!}x^2+0{x^2}\\ \end{align}$

变限积分求导公式

$\begin{equation} F^{\prime}(x)= \frac{d}{dx}\left[ \int _{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(t)dt \right] =f \left[ \varphi _{2}(x)\right] \varphi _{2}^{\prime}(x)-f \left[ \varphi _{1}(x)\right] \varphi _{1}^{\prime}(x) \end{equation}$

题型解法

高级求导

归纳
莱布尼兹公式

$(UV)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$

泰勒公式

解微分方程

一阶微分方程 P_274

类型一可分离变量型

$y^{‘}=f(x)·g(y)$

$
\begin{aligned}
2.&y^{‘}=f(ax+by+c) \
&令\ u=ax+by+c\Rightarrow u^{‘}=a+bf(u)\
&\int \frac {du}{a+bf(u)}=\int dx
\end{aligned}
$

类型二一阶线性

能写成 $y^{‘}+p(x)y=q(x)$ 则为一阶线性微分方程(详解请看P288)

$通解为:\quad y=e^{-\int{p(x)dx}}\left[\int {e^{\int{p(x)dx}}\cdot q(x)dx}+C\right]$

二阶可微分方程

类型一二阶可降阶微分方程

能写成 $y^{“}=f(x,y^{‘})$ 的形式(三步)

$\begin{aligned} &第一步:令\ y^{'}=p,\ y^{''}=p^{'}\Rightarrow 原方程\ \frac {dp}{dx}=f(x,p)\\ &第二步:求得通解\ p=y^{'}= \psi(x,C_1) \\ &第三步:用一阶微分方程的解法\\ \end{aligned}$

能写成 $y^{‘’}=f(y,y^{‘})$ 的形式(三步)

$\begin{aligned} &① 令y^{'}=p,则\ y^{''}=p^{'}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p,则原方程就变为关于\\ &y\ 的一阶方程\frac{dp}{dy}\cdot p=f(y,p)\\ &②使用一阶方程的方法得到通解\ p=y^{'}= \phi (x,C_1) ,又将\ p\ 还原得到关于\ x\ 的一阶方程\\ &③同理得出通解 \end{aligned}$

类型二二阶常系数微分方程

能写成 $y^{‘’}+qy^{‘}+py=f(x)$ 叫做高阶常系数微分方程(两步)

$\begin{gathered} 第一步\ \lambda^2+p\lambda+q=0得出\lambda_1\ ,\lambda_2\ 写出其次方程的通解:\\ \end{gathered}$ $\begin{cases} 若\ p^2-4q>0\ 通解:\ y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\\ 若\ p^2-4q=0\ 通解:\ y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\\ 若\ p^2-4q<0\ 通解:\ y=e^{ax}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\quad 根为a\pm\beta i\\ \end{cases}$ $\begin{aligned} 第二步设特解y^{\ast}\Rightarrow 得待定系数\Rightarrow 得特解\Rightarrow 写通解\\ \end{aligned}$ $\quad\begin{cases} &当f(x)=P_n(x)e^{ax},\\ &设y^{\ast} =e^{ax}Q_n(x)x^k\\ &其中k=\begin{cases} 0,\quad a\neq\lambda_1\neq\lambda_2,\\ 1,\quad a=\lambda_1 或a=\lambda_2,\\ 2,\quad a=\lambda_1 =\lambda_2,\\ \end{cases} \end{cases}$ $\begin{cases} &当f(x)=e^{ax}\left[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x\right]时\\ &设y^{\ast} =e^{ax}\left[Q_l^{(1)}cos\beta x+Q_l^{(2)}sin\beta x\right]x^k\ ;\\ &\quad\quad\quad\quad其中k=\begin{cases} 0,a\pm\beta 不是特征根,\\ 1,a\pm\beta 是特征根,\\ \end{cases} \end{cases}$

3. 高阶”$y^{(n)},n\geq3$”情况 p_296

$\begin{aligned} &解y^{'''}+p_1y^{''}+p_2y^{'}+p_3y=0:\\ &\quad算\lambda^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+p_3=0的根\\ &\begin{cases}若\lambda是单实数根,写Ce^{\lambda x};\\ 若\lambda是为k得重实根,写(C_1+C_2X+C_3X^2+\cdot\cdot+C_kX^{k-1})e^{\lambda x}\\ 若\lambda是单复数根a\pm\beta i,写(C_1COS\beta x+C_2sin\beta x)e^{ax} \end{cases} \end{aligned}$

反常积分判断收敛

$\begin{aligned} ① 要求每一个积分有且只有一个奇点\ ;\\ ②尺度\begin{cases} \int_0^1\frac {1}{x^p}dx\begin{cases} 0<p<1,收敛;\\ p\geq1,发散\ ;\\ \end{cases}\\ \int_1^{+\infty}\frac 1{x^p}dx\begin{cases} 1<p,收敛\ ;\\ p\leq1,发散\ ;\\ \end{cases}\\ \end{cases} \end{aligned}$

反常积分收敛 - 审敛法

对无界函数的极限审敛法：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点,且存在常数p,使得

$\lim _{x\rightarrow 0^+}[(x-a)^pf(x)]=A\quad(比阶)$ $\begin{aligned} &(1)若0\leq A< +\infty,0<p<1,则反常积分\int_a^bf(x)dx收敛\\ &(2)若0< A\leq +\infty,p\geq1,则反常积分\int_a^bf(x)dx发散\\ \end{aligned}$

则反常积分f(x)dx发散.

多元函数

无条件：多元函数-最值

$\begin{flalign} &有多元函数z=f(x,y);\\ &①算驻点\begin{cases} fx^{'}=0;\\ fy^{'}=0; \end{cases}得驻点(x_0,y_0) \\ &令A=f_{xx}^{''}(x_0,y_0),B=f_{xy}^{''}(x_0,y_0),C=f_{yy}^{''}(x_0,y_0);\\ &则\Delta=B^2-AC \begin{cases} <0\Rightarrow 有极值\begin{cases}A<0\Rightarrow极大值\\A>0\Rightarrow 极小值\end{cases}\\ >0\Rightarrow非极值\\ =0失效 \end{cases} \end{flalign}$

有条件：拉格朗日函数最值法

条件：$\phi(x,y,z)=0，\psi (x,y,z)=0。求y=f(x,y,z)的最值$

$令F(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda\phi(x,y,z)+\beta\psi(x,y,z)$

$\begin{aligned}&求：\begin{cases} F_x=0;\\ F_y=0;\\ F_z=0;\\ F_{\lambda}=0;\\ F_{\beta}=0; \end{cases}\\ &得到解p(x_0,y_0,z_0);\\ &带入就得最值 \end{aligned}$

归纳总结

极限

存在极限/连续/可导

$\begin{aligned} &①在x_0处极限存在:\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A;\\ &②在x_0处连续:f(x_0)=A;\\ &③在x_0处可导:\lim_{x\to x_0^+}\frac {f(x)-f(x_0)}{x=x_0}=\lim_{x\to x_0^-}\frac {f(x)-f(x_0)}{x=x_0} \end{aligned}\\$

极限-无穷小比阶

$\begin{aligned} &若\lim\alpha(x)=0;\lim\beta(x)=0;\\ &当\lim \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=0;则\alpha(x)是比\beta(x)高级的无穷小;\\ &当\lim \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=1;则\alpha(x)与\beta(x)等价无穷小;\\ &当\lim \frac {\alpha(x)}{\beta(x)}=c;则\alpha(x)与\beta(x)同阶无穷小;\\ &当\lim \frac {\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=1;k>0;则\alpha(x)是\beta(x)k价无穷小;\\ \end{aligned}$

中值定理

设f(x)在[a,b]上连续，则

$\begin{aligned} &定理1（有界与最值定理）m≤f(x)≤M,其中，m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值。\\ &定理2（介值定理）当m≤\mu≤M时，存在\xi∈[a,b]们，使得f（\xi）=\mu\\ &\quad 积分中值定理\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(a-b)\quad(\xi\in(a,b))\\\ &定理3（平均值定理）当a<x_1<x_2<\cdot\cdot\cdot<x_n<b时，在[x_1,x_n]内至少存在一点\xi，使得\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(\xi)=\frac {f(x_1)+f(x_2)+\cdot\cdot\cdot+f(x_n)}{n}\\ &定理4（零点定理）当f(a)·f(b)<0时，存在\xi∈(a,b),使得f(\xi)=0. \end{aligned}$

涉及导数（微分）的中值定理

$\begin{aligned} &定理5（费马定理）\\&设f(x)满足在x_0点处\left\{\begin{aligned}&1.可导;\\&2.取极值;\end{aligned}\right.\ 则f^{'}(x_0)=0\ ;\\\\ &定理6（罗尔定理）\\&设f(x)满足\left\{\begin{aligned}&1.在[a.b]上连续;\\&2.在(a,b)上导;\\&3.f(a)=f(b);\\&注:3替换为\lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow b^-}f(x)也成立;\end{aligned}\right.\ 则存在\xi\in(a,b),使得f^{'}(\xi)=0\ ;\\\\ &定理7（拉格朗日中值定理）\\& 设f(x)满足\left\{\begin{aligned}&1.在[a.b]上连续;\\&2.在(a,b)内可导;\end{aligned}\right.\ 则存在\xi\in(a,b),使得f(b)-f(a)=f^{'}(\xi)(b-a)\ ;\\\\ &定理8（柯西中值定理）\\& 设f(x)满足\left\{\begin{aligned}&1.在[a.b]上连续;\\&2.在(a,b)内可导;\\ &3.g^{'}(x)\neq0;\end{aligned}\right.\ 则存在\xi\in(a,b),使得\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}\ ; \end{aligned}$

关系:

$柯西中值定理\stackrel{当g(x)=x时}\Rightarrow 拉格朗日中值定理 \stackrel{加入罗尔的条件三}\Rightarrow 罗尔中值定理\\ 罗尔中值定理\Rightarrow 拉格朗日中值定理 \Rightarrow 柯西中值定理\\ .....\\ 三个定理都可以互相论证,由此可以看出是一回事,证明时循环论证.$

一元函数微分学

一元函数几何应用 - 渐近线 p_76

铅锤渐近线$(x=x_0)$
$若\lim _{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty(或\lim _{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty)$
水平渐近线$(y=y_0)$
$\begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=y_1,则y=y_1是一条水平渐近线\\ &\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=y_2,则y=y_2是一条水平渐近线\\ &\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=y_3,则y=y_3是一条水平渐近线\\ \end{aligned}$
斜渐近线(y=kx+b)
$\begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac {f(x)}x=k_1,\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-k_{1}x]= b _{1},则y = k_{1}x+b_1\\ &\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_{2},\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-k_{2}x]= b _{2},则y = k_{2}x+b_2\\ &\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac {f(x)}x=k_{3},\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-k_{3}x]= b _{3},则y = k_{3}x+b_3\\ \end{aligned}$

一元函数积分学

定义：

$\begin{aligned} \int_a^bf(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac {b-a}n\sum_{i=1}^n{f(a+\frac {i(b-a)}{n}})\\ 通常：\ \int _{0}^{1}f(x)dx=\lim _{n \rightarrow \infty}\sum _{i=1}^{n}f(0+ \frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} \end{aligned}$

积分换元法:

$三角函数代换\begin{cases} \sqrt {a^2-x^2}\rightarrow x=asint,\\ \sqrt {a^2+x^2}\rightarrow x=atant,\\ \sqrt {x^2-a^2}\rightarrow x=ast,\\ \end{cases}$

几种常见积分图形

类型	极坐标系	参数坐标系
摆线		$\begin{cases}x=a(1-sint)\y=a(1-cost)\end{cases}$
心型线	$r=a(1+cos\theta)$
伯努利双纽线	$r^2=a^2cos\theta$
玫瑰线	$r=a \sin 3 \theta(a>0)$

几何应用 - 弧长

$\begin{aligned} &①直角坐标系:s= \int _{a}^{b}\sqrt{1+ \left[ y^{\prime}(x)\right] ^{2}}dx\\ &②参数方程:s= \int _{a}^{\beta}\sqrt{\left[ x^{\prime}(t)\right] ^{2}+ \left[ y^{\prime}(t)\right] ^{2}}dt\\ &③极坐标方程:s= \int _{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[ r(\theta)\right] ^{2}+ \left[ r^{\prime}(\theta)\right] ^{2}}d \theta \end{aligned}$

几何应用-极坐标面积

$\begin{aligned} &若r=r(\theta)(\alpha<\theta<\beta)\\ &则A=\int_\alpha^\beta \frac 12[r(\theta)]^2d\theta \end{aligned}$

几何应用-旋转体体积

曲线 y=y(x）与x=a,x=b(a <b）及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转 周所得到的旋转体的体积

$V=\pi\int_a^by^2(x)dx$

曲线$y=y_1(x)\geq0与y=y_2(x)\geq0及x=a,x=b(a<b)$所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积
$V=\pi\int_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|dx$
曲线y=y(x)与x=a,x=b(0≤a<b)及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积
$V=2\pi\int_a^bx|y(x)|dx$
曲线$y=y_1(x)与y=y_2(x)及x=a,x=b(0≤a≤b)$所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积
$V=2\pi\int_a^bx|y_1(x)-y_2(x)|dx$

反常积分

①判别时要求每个积分有且仅有一个奇点.

②尺度

$\int_0^1\frac 1{x^p}dx\begin{cases} 0<p<1时,收敛,\\ p>1时,发散,\\ \end{cases}\\ \int_1^{+\infty}\frac 1{x^p}dx\begin{cases} p>1时,收敛,\\ p\leq1时,发散,\\ \end{cases}\\$

二重积分

$rd\theta dr=dxdy$

注:

瑕点

$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=+\infty$

公式